Ułamki, część 2

Ułamek z liczbyA fraction of a numberLa frazione di un numero

„Dwie trzecie z 12” to pierwsze mnożenie“Two thirds of 12” is the first multiplication“I due terzi di 12” è la prima moltiplicazione

Masz 12 cukierków i dajesz bratu 23 z nich. Ile to cukierków? Trzy kroki: 1. podziel 12 na 3 równe grupy (mianownik), 2. sprawdź, ile jest w jednej grupie, 3. weź 2 grupy (licznik).You have 12 sweets and you give your brother 23 of them. How many sweets is that? Three steps: 1. split 12 into 3 equal groups (the denominator), 2. see how many are in one group, 3. take 2 groups (the numerator).Hai 12 caramelle e ne dai 23 a tuo fratello. Quante caramelle sono? Tre passi: 1. dividi 12 in 3 gruppi uguali (il denominatore), 2. guarda quante ce ne sono in un gruppo, 3. prendi 2 gruppi (il numeratore).

Podziel i weźSplit and takeDividi e prendi

/ zofdiw grupieper groupper gruppo

ZapamiętajRememberRicorda

„z” w zadaniu oznacza mnożenie: 23 z 12 = 23 × 12.“of” in a problem means multiplication: 23 of 12 = 23 × 12.“di” in un problema significa moltiplicazione: 23 di 12 = 23 × 12.
Liczbę całą mnożysz przez licznik, a potem dzielisz przez mianownik: 12 × 2 : 3 = 8.You multiply the whole number by the numerator, then divide by the denominator: 12 × 2 ÷ 3 = 8.Moltiplichi il numero intero per il numeratore, poi dividi per il denominatore: 12 × 2 : 3 = 8.

Ułamek z liczby w życiuFraction of a number in real lifeLa frazione di un numero nella vita realePrzecena „−14” na buty za 80 € to 80 : 4 = 20 € mniej. Mnożenie ułamków robisz więc co tydzień w sklepie.A “−14” sale on 80 € shoes takes off 80 ÷ 4 = 20 €. So you already multiply fractions every week in a shop.Uno sconto di “−14” su scarpe da 80 € toglie 80 : 4 = 20 €. Quindi moltiplichi frazioni ogni settimana al negozio.

Liczba razy ułamekWhole number times a fractionNumero per frazione

To po prostu dodawanie wiele razyIt is just adding many timesÈ solo un’addizione ripetuta

3 × 2 to 2 + 2 + 2. Tak samo 3 × 25 to 25 + 25 + 25. Kawałki są te same (piąte), więc liczysz kawałki: 2 + 2 + 2 = 6. Wynik to 65.3 × 2 is 2 + 2 + 2. In the same way 3 × 25 is 25 + 25 + 25. The pieces are the same (fifths), so you count pieces: 2 + 2 + 2 = 6. The result is 65.3 × 2 è 2 + 2 + 2. Allo stesso modo 3 × 25 è 25 + 25 + 25. I pezzi sono gli stessi (quinti), quindi conti i pezzi: 2 + 2 + 2 = 6. Il risultato è 65.

Powtarzaj ułamekRepeat the fractionRipeti la frazione

×/

RegułaThe ruleLa regolaLiczba × ułamek: mnożysz tylko licznik. Mianownik zostaje, bo kawałki dalej są tej samej wielkości.Whole number × fraction: you multiply only the numerator. The denominator stays, because the pieces are still the same size.Numero × frazione: moltiplichi solo il numeratore. Il denominatore resta, perché i pezzi hanno ancora la stessa grandezza.

PułapkaTrapTrappolaNie mnóż mianownika! 3 × 25 to nie 615. 615 to po skróceniu 25, czyli to samo, co na początku. Trzy razy po 25 musi być więcej niż 25.Do not multiply the denominator! 3 × 25 is not 615. 615 simplifies to 25, which is what you started with. Three times 25 must be more than 25.Non moltiplicare il denominatore! 3 × 25 non fa 615. 615 semplificato è 25, cioè quello di partenza. Tre volte 25 deve essere più di 25.

Ułamek razy ułamekFraction times fractionFrazione per frazione

Część z części: obrazek z prostokątemA part of a part: the rectangle pictureUna parte di una parte: l’immagine del rettangolo

Co to znaczy 12 × 13? To „połowa z jednej trzeciej”. Masz tabliczkę czekolady. Dzielisz ją pionowo na trzecie i bierzesz jedną trzecią. Potem dzielisz poziomo na połowy i bierzesz jedną połowę tego kawałka. Zostaje 16 tabliczki.What does 12 × 13 mean? It is “half of one third”. You have a chocolate bar. You cut it into thirds and take one third. Then you cut that piece in half and take one half. You are left with 16 of the bar.Cosa significa 12 × 13? È “la metà di un terzo”. Hai una tavoletta di cioccolato. La dividi in terzi e ne prendi uno. Poi dividi quel pezzo a metà e ne prendi una metà. Ti resta 16 della tavoletta.

Prostokąt: zobacz iloczynThe rectangle: see the productIl rettangolo: guarda il prodotto

/ × /

Niebieski: pierwszy ułamek (pionowo). Pomarańczowy: drugi (poziomo). Czerwony: część wspólna, czyli wynik.Blue: the first fraction (vertical). Orange: the second (horizontal). Red: the overlap, which is the result.Blu: la prima frazione (in verticale). Arancione: la seconda (in orizzontale). Rosso: la parte comune, cioè il risultato.

RegułaThe ruleLa regolaLicznik × licznik, mianownik × mianownik. Nie potrzebujesz wspólnego mianownika! Na końcu skróć wynik.Numerator × numerator, denominator × denominator. You do NOT need a common denominator! At the end, simplify the result.Numeratore × numeratore, denominatore × denominatore. NON serve un denominatore comune! Alla fine semplifica il risultato.

Dlaczego tu nie szukamy wspólnego mianownika?Why no common denominator here?Perché qui non cerchiamo un denominatore comune?Przy dodawaniu kawałki muszą być tej samej wielkości, żeby je policzyć razem. Przy mnożeniu nie dodajesz kawałków, tylko bierzesz część z części, więc prostokąt sam dzieli się na b × d małych kawałków. To nowy mianownik.When adding, the pieces must be the same size so you can count them together. When multiplying you do not add pieces, you take a part of a part, so the rectangle splits itself into b × d small pieces. That is the new denominator.Nell’addizione i pezzi devono avere la stessa grandezza per poterli contare insieme. Nella moltiplicazione non somma pezzi, prendi una parte di una parte, quindi il rettangolo si divide da solo in b × d piccoli pezzi. Quello è il nuovo denominatore.

Skracanie na krzyż: szybciej i łatwiejCross-cancelling: faster and easierSemplificazione in croce: più veloce e più facile

Zamiast mnożyć duże liczby i skracać na końcu, możesz skrócić przed mnożeniem: licznik jednego ułamka z mianownikiem drugiego. Przykład 49 × 38: 4 i 8 dzielą się przez 4, 3 i 9 dzielą się przez 3. Zostaje 13 × 12 = 16.Instead of multiplying big numbers and simplifying at the end, you can simplify before multiplying: the numerator of one fraction with the denominator of the other. Example 49 × 38: 4 and 8 divide by 4, 3 and 9 divide by 3. You are left with 13 × 12 = 16.Invece di moltiplicare numeri grandi e semplificare alla fine, puoi semplificare prima: il numeratore di una frazione con il denominatore dell’altra. Esempio 49 × 38: 4 e 8 si dividono per 4, 3 e 9 si dividono per 3. Resta 13 × 12 = 16.

Uwaga: skracasz tylko „na krzyż” lub w tym samym ułamku. Nigdy dwóch liczników ze sobą ani dwóch mianowników ze sobą. Przy dodawaniu skracać na krzyż nie wolno!Careful: you cancel only “crosswise” or inside the same fraction. Never two numerators with each other or two denominators with each other. In addition you may NOT cross-cancel!Attenzione: semplifichi solo “in croce” o dentro la stessa frazione. Mai due numeratori tra loro né due denominatori tra loro. Nell’addizione NON si semplifica in croce!

Mniej, a nie więcejLess, not moreMeno, non di piùMnożenie liczb przez ułamki właściwe daje mniej: 12 × 13 = 16 jest mniejsze niż oba. To nie błąd, bo „połowa z czegoś” jest mniejsza niż to coś.Multiplying by proper fractions gives less: 12 × 13 = 16 is smaller than both. That is not a mistake, because “half of something” is less than that something.Moltiplicare per frazioni proprie dà meno: 12 × 13 = 16 è più piccolo di entrambe. Non è un errore, perché “la metà di qualcosa” è meno di quel qualcosa.

OdwrotnośćThe reciprocalL’inverso

Ułamek „do góry nogami”The fraction “upside down”La frazione “capovolta”

Odwrotność ułamka to ten sam ułamek, w którym zamieniasz miejscami górę i dół. Odwrotnością 23 jest 32. Ułamek razy jego odwrotność zawsze daje 1: 23 × 32 = 66 = 1. Odwrotność liczby 5 to 15, bo 5 to 51.The reciprocal of a fraction is the same fraction with the top and the bottom swapped. The reciprocal of 23 is 32. A fraction times its reciprocal always gives 1: 23 × 32 = 66 = 1. The reciprocal of 5 is 15, because 5 is 51.L’inverso (o reciproco) di una frazione è la stessa frazione con numeratore e denominatore scambiati. L’inverso di 23 è 32. Una frazione per il suo inverso dà sempre 1: 23 × 32 = 66 = 1. L’inverso di 5 è 15, perché 5 è 51.

Przewróć ułamekFlip the fractionCapovolgi la frazione

ZapamiętajRememberRicorda

Odwrotność: góra i dół zamieniają się miejscami (reciproco).Reciprocal: the top and the bottom swap places.Inverso: numeratore e denominatore si scambiano (reciproco).
Ułamek × odwrotność = 1.Fraction × reciprocal = 1.Frazione × inverso = 1.
Zera nie da się odwrócić, bo nie wolno dzielić przez 0.You cannot flip 0, because you must never divide by 0.Non si può capovolgere 0, perché non si divide mai per 0.

Dzielenie: ile razy się mieści?Division: how many times does it fit?Divisione: quante volte ci sta?

Zanim wprowadzimy regułę, zobacz, co dzielenie oznaczaBefore the rule, see what division meansPrima della regola, guarda cosa significa dividere

12 : 3 pyta: „ile razy 3 mieści się w 12?”. Odpowiedź: 4 razy. Tak samo 3 : 12 pyta: „ile połówek mieści się w 3 całych pizzach?”. Każda pizza ma 2 połówki, więc w 3 pizzach jest 6 połówek. 3 : 12 = 6.12 ÷ 3 asks “how many times does 3 fit in 12?”. Answer: 4 times. In the same way 3 ÷ 12 asks “how many halves fit in 3 whole pizzas?”. Each pizza has 2 halves, so 3 pizzas have 6 halves. 3 ÷ 12 = 6.12 : 3 chiede “quante volte il 3 ci sta nel 12?”. Risposta: 4 volte. Allo stesso modo 3 : 12 chiede “quante metà ci stanno in 3 pizze intere?”. Ogni pizza ha 2 metà, quindi 3 pizze hanno 6 metà. 3 : 12 = 6.

Ile kawałków się zmieści?How many pieces fit?Quanti pezzi ci stanno?

Dzielisz:You divide:Dividi:przezbyper

Zauważ wzórSpot the patternNota lo schema3 : 12 = 6 to to samo, co 3 × 2. 3 : 14 = 12 to 3 × 4. Dzielenie przez ułamek zamienia się w mnożenie przez jego odwrotność. Za chwilę to udowodnimy.3 ÷ 12 = 6 is the same as 3 × 2. 3 ÷ 14 = 12 is 3 × 4. Dividing by a fraction turns into multiplying by its reciprocal. In a moment we will prove it.3 : 12 = 6 è lo stesso di 3 × 2. 3 : 14 = 12 è 3 × 4. Dividere per una frazione diventa moltiplicare per il suo inverso. Tra poco lo dimostriamo.

Dzielenie może powiększaćDivision can make it biggerDividere può ingrandirePrzy liczbach całych dzielenie zwykle zmniejsza. Gdy dzielisz przez ułamek mniejszy niż 1, wynik jest większy: 3 : 12 = 6. W końcu w 3 pizzach jest więcej połówek niż samych pizz.With whole numbers, division usually makes things smaller. When you divide by a fraction smaller than 1, the result is bigger: 3 ÷ 12 = 6. After all, 3 pizzas contain more halves than pizzas.Con i numeri interi dividere di solito rimpicciolisce. Quando dividi per una frazione minore di 1 il risultato è più grande: 3 : 12 = 6. In fondo, 3 pizze contengono più metà che pizze.

Dzielenie ułamkówDividing fractionsDividere le frazioni

Jedna reguła: pierwszy ułamek × odwrotność drugiegoOne rule: the first fraction × the reciprocal of the secondUna regola: la prima frazione × l’inverso della seconda

RegułaThe ruleLa regolaab : cd = ab × dc. Czyli: 1. przepisz pierwszy ułamek bez zmian. 2. zmień dzielenie na mnożenie. 3. odwróć drugi ułamek. 4. pomnóż i skróć.ab ÷ cd = ab × dc. So: 1. copy the first fraction unchanged. 2. change division into multiplication. 3. flip the second fraction. 4. multiply and simplify.ab : cd = ab × dc. Cioè: 1. ricopia la prima frazione senza cambiarla. 2. trasforma la divisione in moltiplicazione. 3. capovolgi la seconda frazione. 4. moltiplica e semplifica.

Dzielenie krok po krokuDivision step by stepDivisione passo dopo passo

/ : /

Dwa najczęstsze błędyThe two most common mistakesI due errori più comuni

Odwracasz pierwszy ułamek zamiast drugiego. Odwracamy zawsze to, przez co dzielisz (dzielnik).You flip the first fraction instead of the second. We always flip what you divide BY (the divisor).Capovolgi la prima frazione invece della seconda. Si capovolge sempre ciò per cui dividi (il divisore).
Zmieniasz dzielenie na mnożenie, ale zapominasz odwrócić. Wtedy liczysz zupełnie coś innego.You change division into multiplication but forget to flip. Then you are calculating something completely different.Trasformi la divisione in moltiplicazione ma ti dimentichi di capovolgere. Allora calcoli tutt’altro.

Sprawdź sam: dzielenie i mnożenie to przeciwieństwaCheck it yourself: division and multiplication are oppositesControlla da solo: divisione e moltiplicazione sono opposte34 : 12 = 32. Sprawdzamy: 32 × 12 = 34. Zgadza się! Takim sprawdzeniem możesz zawsze skontrolować swoje dzielenie.34 ÷ 12 = 32. Check: 32 × 12 = 34. It matches! You can always check your division this way.34 : 12 = 32. Verifica: 32 × 12 = 34. Torna! Con questa verifica puoi sempre controllare la tua divisione.

Liczby mieszane i liczby całeMixed numbers and whole numbersNumeri misti e numeri interi

Jak ujednolicić wszystko do ułamkówHow to turn everything into fractionsCome trasformare tutto in frazioni

Przed mnożeniem i dzieleniem zamień wszystko na ułamki. Liczba całą 5 to 51. Liczba mieszana 2 14 to 94: całości razy mianownik, plus licznik (2 × 4 + 1 = 9), mianownik zostaje.Before multiplying and dividing, turn everything into fractions. The whole number 5 is 51. The mixed number 2 14 is 94: wholes times denominator, plus numerator (2 × 4 + 1 = 9), the denominator stays.Prima di moltiplicare e dividere, trasforma tutto in frazioni. Il numero intero 5 è 51. Il numero misto 2 14 è 94: interi per denominatore, più numeratore (2 × 4 + 1 = 9), il denominatore resta.

Przykład: 2 14 × 23Example: 2 14 × 23Esempio: 2 14 × 23

Krok 1Step 1Passo 1

2 14 = 942 14 = 942 14 = 94

Krok 2Step 2Passo 2

94 × 23 → skracamy na krzyż: 9 i 3 przez 3, 2 i 4 przez 2cross-cancel: 9 and 3 by 3, 2 and 4 by 2semplifichiamo in croce: 9 e 3 per 3, 2 e 4 per 2

Dokładnie: 94 × 23 = (9:3)(4:2) × (2:2)(3:3) = 32 × 11 = 32.Exactly: 94 × 23 = (9÷3)(4÷2) × (2÷2)(3÷3) = 32 × 11 = 32.Precisamente: 94 × 23 = (9:3)(4:2) × (2:2)(3:3) = 32 × 11 = 32.

Krok 3Step 3Passo 3

32 = 1 12 (jeśli trzeba liczbę mieszaną)32 = 1 12 (if you need a mixed number)32 = 1 12 (se serve il numero misto)

Pułapka: nie mnóż osobnoTrap: do not multiply separatelyTrappola: non moltiplicare separatamente2 14 × 23 to NIE jest 2 × 23 z zostawionym 14. Najbezpieczniej: zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy i licz jednym wzorem.2 14 × 23 is NOT 2 × 23 with the 14 left alone. Safest: turn the mixed number into an improper fraction and use one single rule.2 14 × 23 NON è 2 × 23 lasciando da parte 14. Il più sicuro: trasforma il numero misto in frazione impropria e usa un’unica regola.

Z zeszytu: na krzyż, „di” i zeroFrom the notebook: cross-cancelling, “di” and zeroDal quaderno: in croce, “di” e zero

Trzy rzeczy, które robisz na lekcjiThree things you do in classTre cose che fai in classe

A. Skracanie na krzyż (a croce) i trzy ułamkiA. Cross-cancelling (a croce) and three fractionsA. Semplificazione in croce (a croce) e tre frazioni

Przed mnożeniem szukaj liczb do skrócenia. Skracasz licznik z mianownikiem: z tego samego ułamka albo z innego (to jest „na krzyż”, po włosku a croce). Dzięki temu liczysz na małych liczbach, a wynik od razu wychodzi w najprostszej postaci. Działa tak samo przy trzech ułamkach.Before multiplying, look for numbers you can cancel. You cancel a numerator with a denominator: from the same fraction or from another one (this is “across”, in Italian a croce). That way you work with small numbers and the result comes out in simplest form. It works the same with three fractions.Prima di moltiplicare, cerca i numeri da semplificare. Semplifichi un numeratore con un denominatore: della stessa frazione o di un’altra (questo è “in croce”, a croce). Così lavori con numeri piccoli e il risultato viene già ai minimi termini. Funziona uguale con tre frazioni.

ZasadaThe ruleLa regolaLiczba z góry skraca się z liczbą z dołu. Nigdy licznik z licznikiem ani mianownik z mianownikiem.A number on top cancels with a number on the bottom. Never numerator with numerator or denominator with denominator.Un numero sopra si semplifica con un numero sotto. Mai numeratore con numeratore né denominatore con denominatore.

Skracanie krok po krokuCancelling step by stepSemplificare passo dopo passo

PułapkaTrapTrappolaSkracanie na krzyż działa przy mnożeniu (i przy dzieleniu, dopiero po odwróceniu drugiego ułamka). Przy dodawaniu i odejmowaniu nie wolno tak skracać.Cross-cancelling works in multiplication (and in division, only after flipping the second fraction). In addition and subtraction you must not cancel like this.La semplificazione in croce vale per la moltiplicazione (e per la divisione, solo dopo aver capovolto la seconda frazione). Nell’addizione e nella sottrazione non si può semplificare così.

B. „Di” znaczy razy (prodotti a parole)B. “Di” means times (prodotti a parole)B. “Di” significa per (prodotti a parole)

W zadaniach „prodotti a parole” (iloczyny opisane słowami) zamieniasz słowa na działanie. Słowo di to „z”, a „z” przy ułamkach znaczy razy.In “prodotti a parole” tasks (products described in words) you turn the words into a calculation. The word di means “of”, and “of” with fractions means times.Negli esercizi “prodotti a parole” trasformi le parole in un calcolo. Con le frazioni la parola di significa per, cioè moltiplicazione.

Italiano	ZnaczyMeansSignifica	WynikResultRisultato
i 35 di 45	35 × 45	27
la metà di 34	12 × 34	38
un terzo di 12	13 × 12	4
il prodotto di 23 e 34	23 × 34	12

Jak liczyć „ułamek z liczby”How to find a “fraction of a number”Come calcolare una “frazione di un numero”35 z 45: najpierw dzielisz przez mianownik (45 : 5 = 9, to jedna piąta), potem mnożysz przez licznik (9 × 3 = 27).35 of 45: first divide by the denominator (45 ÷ 5 = 9, that is one fifth), then multiply by the numerator (9 × 3 = 27).35 di 45: prima dividi per il denominatore (45 : 5 = 9, cioè un quinto), poi moltiplichi per il numeratore (9 × 3 = 27).

C. Zero w dzieleniuC. Zero in divisionC. Lo zero nella divisione

ZapamiętajRememberRicorda

0 : 34 = 0. Z niczego nie zrobisz więcej niż nic.0 ÷ 34 = 0. From nothing you cannot make more than nothing.0 : 34 = 0. Da niente non ottieni più di niente.
34 : 0 nie da się policzyć. Zero nie ma odwrotności (nie istnieje 10), więc nie ma jak zamienić dzielenia na mnożenie.34 ÷ 0 cannot be calculated. Zero has no reciprocal (10 does not exist), so division cannot be turned into multiplication.34 : 0 non si può fare. Lo zero non ha inverso (10 non esiste), quindi la divisione non si trasforma in moltiplicazione.

ĆwiczeniaPracticeEsercizi

Zawsze z wyjaśnieniem: dlaczego tak i dlaczego nieAlways with an explanation: why this and why not thatSempre con la spiegazione: perché così e perché non così

Nikt Cię tu nie ocenia. Po każdej odpowiedzi zobaczysz, dlaczego ta odpowiedź jest dobra albo dlaczego dana odpowiedź nie pasuje. Liczby w ćwiczeniach „Policz” zmieniają się za każdym razem, więc możesz ćwiczyć bez końca.Nobody grades you here. After every answer you will see why that answer is right, or why the answer you chose does not fit. The numbers in the “Calculate” exercises change every time, so you can practise endlessly.Qui nessuno ti valuta. Dopo ogni risposta vedrai perché è giusta, oppure perché quella che hai scelto non va. I numeri negli esercizi “Calcola” cambiano ogni volta, quindi puoi esercitarti senza fine.

Words

Słowniczek: angielski, polski, włoskiGlossary: English, Polish, ItalianGlossario: inglese, polacco, italiano

English	Polski	Italiano